初めから言っておくと、GYAOの問題なのかブラウザの問題なのか、原因は分かっていません。
ただ色々いじっていたら消し方が分かったので対処方法だけ伝えます。
ブラウザによってやり方違うので以下、ブラウザ別に解説。
Google chrome・Microsoft edge
chromeとedgeは恐らく同じ操作でバーが消えます。
①動画を開く(全画面、通常画面どちらでも可)
②画面の余白を右クリック→「すべてのコントロールを表示」
③横矢印キーでスキップする
④消える(はず)
↓ 以下、画像付きで解説 ↓
全画面でも通常画面でも良いので、見たい動画を開いたら
画面の余白を右クリックして、「すべてのコントロールを表示」をクリック

方向キーの右か左を押してスキップ

数秒後に消えたら成功です。
FireFox
一応分けましたが、chrome、edgeとFireFoxも大して操作は変わりません。
①動画を開く(全画面、通常画面どちらでも可)
②画面の余白を右クリック→「コントロールを表示」
③横矢印キーでスキップ
④消える(はず)
↓ 以下、画像付きで解説 ↓
全画面でも通常画面でも良いので、見たい動画を開いたら
画面の余白を右クリックして、「コントロールを表示」をクリック

方向キーの右か左を押してスキップ

数秒後に消えたら成功です。
最終手段:ピクチャーインピクチャーで見る

ピクチャーインピクチャーとは、画面の隅などに小さく別の画面の表示領域を設ける機能です。
ピクチャーインピクチャーを使えば、基本的にどのブラウザでもタスクバーが邪魔にならず見ることが出来ると思います。
やり方は画面の余白を右クリックして「ピクチャーインピクチャー」を選択するだけです。


※firefoxは全画面ではなく、通常画面にしてから右クリックしてください。
GYAO!をパソコンの全画面で見たとき上下のタスクバーが消えない時の対処方法を紹介しました。
これは筆者が勝手に発見した方法なので、正規の方法ではありません。
他のブラウザやデバイスやバージョンによっては出来ないかもしれませんが何か少し参考になれば幸いです。